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摘要：凸函数是基础数学中很重要的一类函数，是很多基础数学学科的理论基础和工具，在应用数学的众多领域中有着十分广泛的应用。不同的教材对凸函数的定义形式各不相同，而各种定义之间有着内在的联系，在某些限制条件下，它们是等价的，这就是凸函数的等价定义。本文以凸函数的等价定义与应用为课题，对凸函数的概念及等价定义进行分析，阐述凸函数的主要性质，并总结凸函数在数学与经济学中的应用。
关键词：凸函数；等价定义；应用；不等式；更多范文 凸函数是一类重要的函数，它的的概念最早见于jensen著述中^[1]。凸函数在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具^[2]。
凸函数在描述函数图和推断不等式中扮演着非常重要的角色。 对于广泛的凸函数理论以及在各个数学领域的广泛应用，凸函数理论应该进一步讨论。鉴于此，本文对凸函数的等价定义与应用进行探究，结合凸函数的等价定义与性质，分析凸函数的相关应用，有助于利用凸函数解决相关问题。
凸函数理论发生在本世纪初。 最初理论基础来自于Jenson Holder等人的著述，但当时并没有被注意到^[3]。 然而，仅在本世纪的40和50年代才有人注意到这一点。 因为有些需求已经由于概念的研究而被应用了。 在20世纪50年代初和20世纪60年代后半期，学者对凸函数理论进行了大量的研究，并取得了重要而有价值的研究成果。 因此，在20世纪60年代进行了凸面分析，其概念也得到了推广^[4]。
凸函数是非常重要的数学概念，在许多领域有着广泛的应用[5]。 这是因为它是一个重要的理论基础，并且由于应用了许多凸函数的优良性质而成为许多领域的强大工具。 自从本世纪初建立凸函数理论以来，凸函数的重要概念已经广泛应用于数学和经济学等领域。 凸函数的特殊性决定了函数域中的特殊位置[6]。 到目前为止，关于凸函数的研究已经从简单的研究定义到其性质的研究，以及在各个领域的应用。 人们对知识的渴望是无限的，随着科学技术的不断发展，人们对凸函数的研究还在进行中。2009年黑志华，付云权在他们的《凸函数在微观经济学中的应用》一文中阐述如何利用凸函数的性质去解决经济学中的一些问题。同样的在国外也得到了广泛的应用。如Neculai Andnei发表的《Convex function》，主要介绍了一些有关凸函数的性质定理以及例举出了一些实际的应用。
到目前为止，凸函数在很多方面都有应用，但是还需要注意凸函数的局限性。 从过去的论文和专著角度来看，凸函数仍然有局限性，最显着的是理论上的，更广泛地使用凸函数看起来像一个瓶颈。 所以，必须深入研究凸函数。