数学归纳法在中学数学中的应用

在日常生活中，归纳法的基础是观察与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、处理科学实验材料的一种十分重要而且普遍应用的思想方法。流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，都是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果。化学家、物理学家最基本的研究手段就是实验和归纳，例如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真理的典型例证。再例如水文工作者、气象工作者依据积累的历史资料作水文预报、气象预测，用的就是归纳法。这些归纳法却不能用完全归纳法。数学归纳法是一种论证方法，在一些个别的案例上，使用数学归纳法可以看出一些问题之间存在的逻辑关系，从而做出论证。在数学问题当中，一旦涉及到一些无穷的问题就需要花费大量的时间去思考和计算。而利用数学归纳法则可以较为方便的理解这些无穷问题的基本规律，从而简化思考过程，本文主要分析数学归纳法在中学数学中的应用。数学归纳法的概念，也就是从数学专业的角度上给数学归纳法下定义，用于证明某个命题在自然数的范围内成立的一种数学证明方法。当然，除了自然数之外，数学归纳法还可以用于证明一些数学定理。在数学上，不同的证明方法所证明的结论是不一样的。而数学追求的是正确的结果。不仅仅是逻辑上没有错误，还是在实际应用中也是正确的。数学归纳法就是一种完全严谨的推理方法。在中学的数学教学中，数学归纳法主要应用与整数相关的数学问题。也就是一些等式和公式的成立。举例来说，某一数学命题是证明前n个奇数之和是n^2。在解决这道命题时，就是先证明当n=1时命题的成立。与此同时，证明当n=m的时候命题的成立。那么，当n=m+1时，这个命题也是成立的。据此，我们就可以证明命题的成立。这也是一道常见的数学归纳法的命题。许多命题通过应用这种逻辑分析方法分析命题。在实际中也是最奏效的一种分析方法。数学归纳法体现了递推思想，其中（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，递推就没有奠基。（2）是递推的根据，有了它无限次递推成为可能。所以数学归纳法的两个步骤缺一不可。数学归纳法证题的两个步骤虽然都是重要的，但在证题时，第一步较易，第二步证明较难。解决的关键就是做从P（k）到P（k+l）的转化工作，而这种转化工作往往涉及到代数、三角、几何等知识，有时还要用不同的方式进行。学生往往感到很困难，绞尽脑汁都难以完成这一步。针对这个问题，本文把中学数学教材及一些常见教学参考资料中用数学归纳法证明的各种问题进行整理分类，并以若干比较典型、比较困难的问题作为示例，探讨数学归纳法在中学数学中的应用。